2.  Принципы построения и основные требования к математическим моделям  систем

Принципы определяют те общие требования, которым должна удовлетворять правильно построенная модель.

Рассмотрим эти принципы.

1. 1.    Адекватность. 

 Этот принцип предусматривает соответствие модели целям исследования по уровню сложности и организации, а также соответствие реальной системе относительно выбранного множества свойств. До тех пор, пока не решен вопрос, правильно ли отображает модель исследуемую систему, ценность модели незначительна.

1. 2.       Соответствие модели решаемой задаче. 

 Модель должна строиться для решения определенного класса задач или конкретной задачи исследования системы. Попытки создания универсальной модели, нацеленной на решение большого числа разнообразных задач, приводят к такому усложнению, что она оказывается практически непригодной. Опыт показывает, что при решении каждой конкретной задачи нужно иметь свою модель, отражающую те аспекты системы, которые являются наиболее важными в данной задаче. Этот принцип связан с принципом адекватности.Упрощение при сохранении существенных свойств системы. Модель должна быть в некоторых отношениях проще прототипа - в этом смысл моделирования.

1. 3.                  Чем сложнее рассматриваемая система, тем по возможности более упрощенным должно быть ее описание, умышленно утрирующее типичные и игнорирующее менее существенные свойства.

 Этот принцип может быть назван принципом абстрагирования от второстепенных деталей.Соответствие между требуемой точностью результатов моделирования и сложностью модели. Модели по своей природе всегда носят приближенный характер. Возникает вопрос, каким должно быть это приближение. С одной стороны, чтобы отразить все сколько-нибудь существенные свойства, модель необходимо детализировать. С другой стороны, строить модель, приближающуюся по сложности к реальной системе, очевидно, не имеет смысла. Она не должна быть настолько сложной, чтобы нахождение решения оказалось слишком затруднительным. Компромисс между этими двумя требованиями достигается нередко путем проб и ошибок. Практическими рекомендациями по уменьшению сложности моделей являются:изменение числа переменных, достигаемое либо исключением несущественных переменных, либо их объединением.

 Процесс преобразования модели в модель с меньшим числом переменных и ограничений называют агрегированием.изменение природы переменных параметров. Переменные параметры рассматриваются в качестве постоянных, дискретные - в качестве непрерывных и т.д.изменение функциональной зависимости между переменными. Нелинейная зависимость заменяется обычно линейной, дискретная функция распределения вероятностей - непрерывной;изменение ограничений (добавление, исключение или модификация). При снятии ограничений получается оптимистичное решение, при введении - пессимистичное. Варьируя ограничениями, можно найти возможные граничные значения эффективности. Такой прием часто используется для нахождения предварительных оценок эффективности решений на этапе постановки задач;ограничение точности модели.

 Точность результатов модели не может быть выше точности исходных данных.

Баланс погрешностей различных видов. В соответствии с принципом баланса необходимо добиваться, например, баланса систематической погрешности моделирования за счет отклонения модели от оригинала и погрешности исходных данных, точности отдельных элементов модели, систематической погрешности моделирования и случайной погрешности при интерпретации и осреднении результатов.

Многовариантность реализаций элементов модели. Разнообразие реализаций одного и того же элемента, отличающихся по точности (а следовательно, и по сложности), обеспечивает регулирование соотношения «точность/сложность».Блочное строение. При соблюдении принципа блочного строения облегчается разработка сложных моделей и появляется возможность использования накопленного опыта и готовых блоков с минимальными связями между ними. Выделение блоков производится с учетом разделения модели по этапам и режимам функционирования системы.

В зависимости от конкретной ситуации возможны следующие подходы к построению моделей:

непосредственный анализ функционирования системы;

проведение ограниченного эксперимента на самой системе;

использование аналога;

анализ исходных данных.

Математические модели (ММ) служат для описания свойств объектов в процедурах АП. Если проектная процедура включает создание ММ и оперирование ею с целью получения полезной информации об объекте, то говорят, что процедура выполняется на основе математического моделирования.

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности .

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта.

Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Пусть отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров Y = (y1, y2, ..., ym). Тогда, обозначив истинное и рассчитанное с помощью ММ значения j-го параметра через yjист и yjm соответственно, определим относительную погрешность Ej расчета параметра Yj как

Ej = (yjm - yjист)/yjист (2.1)

Получена векторная оценка Е = (E1, E2, ..., Em). При необходимости сведения этой оценки к скалярной используют какую-либо норму вектора Е, например

Em = ||E|| = maxEj.

j O [1m]

Адекватность ММ - способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Поскольку выходные параметры являются функциями векторов параметров внешних Q и внутренних Х, погрешность Ej зависит от значений Q и Х.

Обычно значения внутренних параметров ММ определяют из условия минимизации погрешности Eм в некоторой точке Qном пространства внешних переменных, а используют модель с рассчитанным вектором при различных значениях Q. При этом, как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних переменных - области адекватности (АО) математической модели:

OA = {Q|Em, d},

где d - заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели.

Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов. Чем они меньше, тем модель экономичнее.

Математический подход к моделированию имеет ряд недостатков вследствие того, что исследователь моделирует не реальный объект, а только математическое описание реального объекта. Необходимая информация в этом случае получается после постановки серии вычислительных экспериментов с математическими моделями или с помощью имитационного моделирования.

Основные из них:

низкая адекватность математической модели реальному объекту;

проблемы, связанные с решаемостью математических моделей из-за наличия в них разрывных функций;

непригодность математических моделей для большинства объектов с переменной структурой;

приближенные методы реализаций моделей с переменными коэффициентами требуют значительных затрат и не обладают достаточной точностью решения.

В настоящее время имитационное моделирование в основном реализуется на ЦВМ. Исходное математическое описание любой динамической системы представляет собой совокупность дифференциальных, алгебраических, логических, разностных уравнений, описывающих физические процессы в отдельных функциональных элементах системы. Часто используется блочный принцип формирования моделей с применением специализированных программно-технических комплексов, построенных с учетом следующих основных требований:

диалог с вычислительной системой должен вестись на естественном профессиональном языке специалиста в конкретной предметной области. Исходным элементом для организации этого диалога должна быть базовая структурная модель звена, выполняющего определенную математическую функцию;

большая часть работ по формированию моделей и получению результатов моделирования должна выполняться вычислительной системой. Исследователь только ставит задачу и анализирует полученные результаты;