6. Понятие устойчивости, необходимые и достаточные условия устойчивости для линейных систем.

Анализ устойчивости

Устойчивость - свойство системы, будучи выведенной из равновесия, возвращаться в исходное устойчивое состояние.
Известно, что необходимым и достаточным условием устойчивости является то, что корни характеристического уравнения системы лежат в левой полуплоскости комплексного переменного.

Для исследования устойчивости систем по их
линеаризованным уравнениям принципиально важны следующие теоремы Ляпунова, которые приводятся без доказательств.

·    Теорема 1 Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения (линеаризованное) отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

·    Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью,то невозмущенное движение неустойчиво. Если среди корней характеристического уравнения имеется один или несколько нулевых корней, а вещественные части остальных корней отрицательны, то этот случай называют критическим. Таким образом, анализ устойчивости линеаризованной системы сводится к нахождению расположения корней характеристического уравнения системы на комплексной плоскости. Однако не всегда можно вычислить корни характеристического уравнения в аналитическом виде. В соответствии с теоремой Абеля, корни уравнения выше четвертого порядка в общем случае не могут быть найдены аналитически принципе.

В дисциплине ВМ-3 рассматривались алгебраические критерии устойчивости по коэффициентам характеристического уравнения, например схема Рауса, по матрице модели системы, представленной в виде уравнений состояния. Если математическая модель представлена в виде структурной схемы, то характеристическое уравнение есть ни что иное как знаменатель передаточной функции замкнутой системы. Алгебраические критерии - это такие, с помощью которых можно судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения, зависящим от параметров составления программ исследования устойчивости на ЭВМ. При этом можно оценить влияние на устойчивость либо коэффициентов характеристического уравнения, либо отдельных параметров системы, не сложным образом входящих в состав коэффициентов. Форма алгоритма легко поясня тся таблицей 1.

В первой строке таблицы записывают в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения D(p)= а0р^n + а1р^(n-1)+...+ аn = О,

Имеющие четный индекс: аО, а2, а4, а6.....;

во второй строке - коэффициенты с нечетными индексами: а1, аЗ, а5, а7....

Любой из остальных коэффициентов таблицы определяют как

столбца таблицы,a  i - индекс номера строки. Число строк таблицы Рауса равно порядку характеристического уравнения плюс единица, т.е. (n + 1). В соответствии с данными таблицы условие устойчивости Рауса формулируется следующим образом: для того чтобы система автоматического управления была

устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т.е. при Аo> 0 были положительными.
Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

КРИТЕРИИ  УСТОЙЧИВОСТИ [1, 7, 11, 12].

Понятие устойчивости системы. Система находится в состоянии равновесия, если при отсутствии воздействия на систему возмущающих факторов ошибка регулирования (разность между заданным и фактическим состоянием системы) стремится к нулю. Под устойчивостью понимается способность динамической системы возвращаться в равновесное состояние после окончания действия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система после воздействия возмущения удаляется от равновесного состояния или начинает совершать вокруг него колебания с нарастающей амплитудой.

Возникновение неустойчивых (расходящихся) колебаний в системе можно проследить на примере следящей системы с обратной связью (рис. 4.1.1). Допустим, что в установившемся состоянии равновесия при опорном сигнале u_o на регуляторе Р выходное состояние объекта управления ОУ равно y_уст. Это состояние поддерживается сигналом рассогласования е_уст, который формируется в регуляторе Р по разности опорного сигнала и сигнала обратной связи у_ос-уст, т.е. е_уст = u_o-у_ос-уст. В первый момент включения системы в силу инерционности обратной связи у_ос = 0, а, следовательно, e(t) >> е_уст, что вызывает нарастание выходной величины y(t), которая будет стремиться к y(t) >> у_уст по крайней мере, до тех пор, пока сигнал обратной связи не начнет уменьшать значение e(t). Однако значительно возросшая величина y(t) через ОС передается на вход регулятора системы и может настолько существенно уменьшить значение e(t), что это может привести к последующему снижению величины выходного сигнала до значений y(t) << у_уст, т.е. к возникновению колебательного процесса относительно равновесного состояния. При неблагоприятном соотношении параметров системы колебательный процесс может быть незатухающим и даже расходящимся. Пример такого процесса в концертной акустике хорошо известен – свист из динамиков, если коэффициент обратной связи от динамиков на микрофоны на определенных частотах становится положительным.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы. Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы. Соответственно, и задача исследования систем на устойчивость может быть поставлена двояко:

1) устойчива ли система при заданном значении ее параметров;

2) в каких диапазонах можно изменять параметры системы, не нарушая ее устойчивости.

Вторая задача исследования имеет место при наладке и эксплуатации систем автоматического управления.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения для системы ищется в виде:

y(t) = у_св(t) + у_вын(t).                                               (4.1.1)

Здесь у_св(t) – свободная составляющая, общее решение однородного дифференциального уравнения с нулевой правой частью:

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_n-1y’ + a_ny = 0,

т.е. когда все внешние воздействия сняты, и состояние системы определяются лишь собственной структурой.

Функция у_вын(t) представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы при наличии на входе определенного воздействия u(t) или f(t) после окончания переходного процесса.

Рис. 4.1.2.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис. 4.1.2). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей у_вын = y(t®∞). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P_o sin(wt+j), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть у_вын = y_max sin(wt+j).

Только устойчивая система является работоспособной. Основы строгой теории устойчивости динамических систем были разработаны акад. А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Понятия об устойчивости, вытекающие из этой работы, заключаются в следующем.

Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. Нелинейные системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших.

Наглядное представление о системах, устойчивых при малых и неустойчивых при больших возмущениях, дает поведение шара во впадине на рисунке слева. При малых воздействиях на шар и его малых отклонениях не выше края впадины шар возвращается в исходное положение и система шар - поверхность устойчива. При больших воздействиях с отклонением за край впадины шар не возвращается в исходное положение - система неустойчива. Поэтому устойчивость систем исследуется отдельно для случая малых и больших возмущений.

Проблема устойчивости обычно возникает в замкнутых системах из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя методы исследования устойчивости универсальны.

Условие устойчивости САУ. Применительно к сигналам в САУ частное решение для вынужденной составляющей обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Вопрос устойчивости сводится к выяснению устойчивости свободного движения системы и требует анализа характера решения уравнения свободного движения, составленного относительно отклонения выходной величины y(t) от установившегося состояния.

Как известно, передаточная функция любой линейной динамической системы может быть приведена к виду:

W(p) = K(p)/H(p) =

= [b₀p^m+b₁p^m-1+…+b_m-1p+b_m] / [a₀pⁿ+a₁p^n-1+…+ a_n-1p+a_n],                   (4.1.2)

где a и b - постоянные коэффициенты, которые представляют собой вещественные числа и выражаются через конкретные физические параметры элементов системы. Полином К(р) может не содержать членов с оператором р и представлять собой произведение коэффициентов передачи звеньев, образующих систему.

Важнейшим свойством выражения (4.1.2) является условие n≥m, т. е. порядок полинома Н(р) знаменателя передаточной функции не ниже порядка полинома К(р) ее числителя. Это условие вытекает из физических свойств звеньев реальных динамических систем.

Из выражения (4.1.2) передаточной функции системы можно получить дифференциальное уравнение системы в целом, как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии.

Уравнения разомкнутых систем. Если выражение (4.1.2) является передаточной функцией разомкнутой системы, то выражение

u(р) К(р) = y(p) Н(р),                                               (4.1.3)

будет представлять собой операторное уравнение разомкнутой системы (уравнение в изображениях переменных). Положив в (4.1.3) u(p)=0, получим операторное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе:

y(p) H(p) = 0.                                                     (4.1.4)

Переходя в (4.1.4) к оригиналам, т. е. от операторного уравнения к дифференциальному, и обозначив y(t) = х, получаем дифференциальное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе

a₀dⁿx/dtⁿ + a₁ d^n-1x/dt^n-1 +…+ a_n-1 dx/dt +a_n = 0                          (4.1.5)

Характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению (4.1.5), будет

Н(р) = 0,    a₀pⁿ+a₁p^n-1+…+ a_n-1p+a_n = 0.                               (4.1.6)

Отсюда следует: приравненный нулю знаменатель передаточной функции разомкнутой линейной динамической системы является характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению разомкнутой системы. В связи с этим многочлен Н(р)=0 называется характеристическим оператором системы.

Уравнение замкнутых систем. Пусть (4.1.2) является передаточной функцией разомкнутой системы. Для замкнутой системы в силу отрицательной главной обратной связи имеем u(t) = -y(t), и (4.1.3) принимает вид -К(р) y(р) = Н(р) y(р). Операторное уравнение свободного движения в замкнутой системе:

[К(р)+Н(р)]y(р) = 0,                                               (4.1.7)

где К(р), Н(р) - соответственно числитель и знаменатель передаточной функции разомкнутой системы; y(р) — изображение координаты системы в точке ее замыкания.

На основании (4.1.7) можно записать характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению свободного движения в замкнутой системе

К(р) + Н(р) = 0.                                                    (4.1.8)

C учетом того, что W_oc(p) = 1, передаточная функция замкнутой системы:

W_зс(p) = W(p)/[1 + W(p)],                                         (4.1.9)

где W(p)=K(p)/H(p) - передаточная функция разомкнутой системы. Или:

W_зс(p) = K(p)/[K(p) + H(p)] = K(p)/H_зс(p).                           (4.1.9')

На этом основании характеристическое уравнение замкнутой системы можно записать в виде

H_зс(р) = K(p) + H(p) = 0.                                          (4.1.10)

Таким образом, приравненная нулю сумма полинома числителя и полинома знаменателя передаточной функции разомкнутой системы или приравненный нулю полином знаменателя передаточной функции замкнутой системы являются характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению свободного движения в замкнутой системе.

Корни характеристических уравнений систем могут быть либо вещественными, либо попарно комплексно сопряженными. Решение однородного уравнения выражается через корни характеристического уравнения и коэффициенты перед экспонентами, которые могут быть вычислены через вычеты:

Условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанного в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Рис. 4.1.3.

Из формулы (4.1.11) нетрудно вывести условие устойчивости линейных динамических систем: линейная система будет устойчива, если все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней характеристического уравнения, соответствующего исходному дифференциальному уравнению свободного движения системы, будут отрицательными, что дает затухающие по экспоненте решения. Если имеются чисто мнимые корни, то в переходном процессе будут гармонические незатухающие компоненты.

Каждому отрицательному вещественному корню a_i соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая у_св(t)_i, каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует у_св(t)_i = const (рис. 4.1.3).

Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой w_i, при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис. 4.1.4).

Исходя из расположения на комплексной плоскости, корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми (рис. 4.1.5). Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю, а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Таким образом, исследование устойчивости системы сводится к определению знаков вещественных частей корней характеристического уравнения системы. Но решение уравнений четвертой и более высоких степеней может встречать затруднения. Поэтому применяются косвенные методы анализа устойчивости без определения корней характеристического уравнения, по определенным критериям устойчивости.

Проверку факта отрицательности вещественных частей корней можно выполнять тремя способами:

- вычислив корни непосредственно, с использованием готовых программ;

- связав расположение корней с коэффициентами характеристического уравнения для последующего аналитического исследования;

- судить об устойчивости по частотным характеристикам системы.

Первые два способа называют алгебраическими, последний - частотным. В инженерной практике необходимо иметь эффективные и удобные правила проверки устойчивости. Однако сам по себе критерий устойчивости не обязан быть необходимым и достаточным условием устойчивости системы.