5. Понятие частотных характеристик их физический смысл, Логарифмические частотные характеристики.

Понятие частотных характеристик

    Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена (системы), вызванные гармоническим воздействием на входе.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, который можно сформулировать следующим образом: реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет ограничиться изучением систем только с одним входом.

Заменяя в передаточной функции W(p) оператор р на jw, получим частотную передаточную функцию W(jw). Частотная передаточная функция является комплекснозначной функцией действительной переменной w, которая называется частотой. Функцию W(jw) можно представить в виде:

·    вектора

где А (w) - длина вектора, а ф(w) - аргумент, т.е. угол образованный этим вектором с действительной положительной полуосью;

проекции вектора на комплексную плоскость W(jw) = U(w) + jV(w), где

U(w) - вещественная составляющая, а V(w) - мнимая.

Существует прямая связь между членами составляющих вектора:

А(w) =корень( U2(w) + V(w) ;ф(w)) = arg W(jw)

•    Если argW(jw) <= п(пи)/2, то приближенно можно считать ф(w) = arctg V(w))/U(w).

В некоторых случаях при анализе и синтезе АСУ используется логарифмическая частотная характеристика вида: log W(jw) = log А(w) + jф(w)log е где log A(jw) -логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ), a      log е = const.

Как видно из рисунка 2,а в системе могут отсутствовать (кривая 1) или возникать(кривая 2) резонансные колебания (w - частота резонанса). Фазо-частотная характеристика ф(w), характеризующая сдвиг фаз между входным x(t) и выходным y(t) сигналами, представлена на рисунке 2,б. Из рисунка видно, что с ростом частоты запаздывание выходной координаты y(t) относительно входной x(t) увеличивается.

Во-первых, в логарифмических координатах характеристики деформируются таким образом, что возникает возможность в подавляющем большинстве практических случаев упрощенно изображать амплитудные частотные характеристики ломаными линиями.
Второе удобство связано с построением амплитудных частотных характеристик цепочки последовательно соединенных звеньев, как суммы амплитудных характеристик отдельных звеньев

Зависимость L(w) = 20 Ig [W(jw)] - называется логарифмической амплитудной частотной функцией. График зависимости L(w) от логарифма частоты Ig w называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧX). График зависимости ф(w) от логарифма частоты Ig w называется логарифмическая фазовая частотная характеристика. Зависимость L(w) = 20 Ig [W(jw)] -называется логарифмической амплитудной частотной функцией.

Величина 20 lg А измеряется в децибелах (0.1 бела). Бел- это единица десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала (соответствует усилению мощности в10 раз). Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды (lg А^2 = 2 lg А), то усиление в белах, выраженное через отношение амплитуд, равно 2 lg А. Соответственно в децибелах оно равно 20 lg А.
На оси абсцисс указываются либо прямо значение lg w, либо (практически более удобно) значение самой частоты. В первом случае единицей приращения lg w является декада, соответствующая изменению частоты в 10 раз.

Построение ЛAX осуществляется в следующей последовательности:
1)    Согласно правилам преобразования структурных схем привести систему к одноконтурной ;
2)    Привести структурную схему к виду, содержащему звенья не выше второго порядка (напомним, что порядок звена определяется максимальным порядком оператора р в передаточной функции звена).
3)    Вычислить коэффициент передачи разомкнутой системы Краз и 20log Краз.
4)    Вычислить сопрягающие частоты (Тi-постоянная времени i-гo звена).
5)    На оси 20log |W(jw)| откладываем 20lоgКраз,

 Затем, используя правила преобразования структурных схем, преобразовать ее в одноконтурную систему, передаточная функция которой легко вычисляется согласно сформулированными ниже правилами. Следует иметь в виду, что при преобразовании структурной схемы нельзя переносить через узел (точку съема сигнала) сумматор, так как при этом точка съема оказывается на неэквивалентном участке линии связи.

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный логарифм, а десятичный, то есть L(w) = 20lgA(w). Величина L(w) откладывается по оси ординат в децибелах. Изменение уровня сигнала на 10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20дб,так как

lg(P₂/P₁) = lg(A₂²/A₁²) = 20lg(A₂/A₁).

По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой интервал называется декадой. Так как lg(0) = - бесконечность, то ось ординат проводят произвольно.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина Ф(w) откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы: -п<Ф< +п .

ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев

При рассмотрении и сравнение частотных характеристик амплитудных и фазочастотных для устройств различных видов возникает проблема их компактного представления, так как значения амплитуд и частот (см. рис. 1) существенно различаются друг от друга. Кроме того, и сама величина диапазона частот, в котором характеристики конкретного устройства представляют интерес, может быть весьма значительна, от долей герц до десятков мегагерц.

Рис. 1

Решение этой проблемы лежит в использовании логарифмических масштабов в частотных характеристиках.

Впервые обратились к логарифмическим масштабам в технике связи, так как там рассматриваются объекты, как с большими коэффициентами усиления, так и объекты которые характеризуются существенным затуханием сигналов.

В технике связи используют понятие коэффициента передачи по мощности для четырехполюсника, показанного на рис. 2,

Рис. 2

Значительный диапазон изменения этого коэффициента и заставил использовать логарифмическое представление, логарифмический коэффициент передачи по мощности –

Логарифмический коэффициент усиления по мощности измеряют специальными единицами, которые носят название Белл (Б).

1 Белл соответствует усилению мощности в 10 раз.

Чаще используют единицу в десять раз меньшую – децибел (дБ).

При определении логарифмического коэффициента в децибелах, выражение (1) принимает вид –

Логарифмический коэффициент усиления можно выразить через отношение выходного и входного напряжений при одинаковых нагрузочных сопротивлениях R

Такое представление коэффициента усиления используют в теории автоматического управления для измерения амплитуды частотной характеристики в децибелах –

По оси частот в теории автоматического управления так же используют логарифмический масштаб на основе десятичного логарифма частоты.

При этом ось частот будет иметь следующий вид –

Рис. 3

Изменение частоты в десять раз называют декадой. Причем на оси частот, при ее логарифмическом масштабе, принято обозначать значения частоты в рад/с, иногда в герцах, особенно это принято в радиотехнике и в инженерной практике.

Особо отметим, что логарифмическая шкала не имеет нуля и может пересекаться вертикальной осью в любом месте, что особенно важно тем, что дает возможность рассматривать частотные свойства динамических звеньев и конкретных устройств в необходимом диапазоне изменения частот, где характеристика представляет интерес для исследователя.

Теперь дадим определение логарифмическим частотным характеристикам.

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) динамического звена называют такое представление амплитудной частотной характеристики (АЧХ), в котором модуль (амплитуда) частотной характеристики выражен в децибелах, а частота – в логарифмическом масштабе.

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) динамического звена называют такое представление фазочастотной характеристики (ФЧХ) , в котором частота выражена в логарифмическом масштабе.

Довольно часто ЛАЧХ И ЛФЧХ строятся на одном графике, чтобы давать полное представление о свойствах объекта, покажем на рис. 4 примерный вид и оформление ЛАЧХ и ЛФЧХ некоторого инерционного объекта.